PENGUKURAN

MATERI PEMBELAJARAN

A.   Kompetensi Dasar

 

3.3 Menerapkan prinsip penjumlahan vektor sebidang (misalnya perpindahan)

 

B.   Tujuan Pembelajaran

 

Setelah mempelajari modul ini, anda diharapkan dapat :

1.    membedakan besaran vektor dan skalar

2.    menuliskan notasi vektor

3.    melukiskan operasi vektor secara grafis.

4.    meresultankan vektor secara poligon

5.    meresultankan vektor secara jajaran genjang

 

C.    Uraian Materi

 

1.    Besaran Vektor dan Skalar

Selain besaran pokok dan turunan, jenis besaran lain yaitu besaran vektor dan skalar. Besaran vektor adalah besaran besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan besaran skalar adalah besaran yang  hanya memiliki nilai saja tidak memiliki arah.

Contoh besaran vektor dan scalar

 

Besaran vektor	Besaran skalar
Perpindahan Kecepatan Percepatan Gaya Rapat arus listrik Medan listrik Medan magnet	Jarak Kelajuan Perlajuan Tekanan Arus listrik Massa Usaha

 

 

2.    Penulisan Notasi Vektor

Vektor dituliskan dengan symbol  anak panah. Panjang anak panah menunjukkan nilai vektor sedangkan tanda panah menyatakan arah vektor. Notasi vektor dituliskan dengan cara :

 

a.    Ditulis dengan huruf tebal, contoh vektor A ditulis A

b.    Ditulis dengan huruf yang diatasnya diberi tanda panah contoh

Contoh cara melukiskan  A (dibaca vektor A)

              Nilai vektor

 

                        A

 

Titik tangkap                arah vektor/ujung vektor

     Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila nilai (panjang) dan arahnya sama

 

Contoh :              

                        A                      maka vektor A  sama dengan vektor B

                        B

Tetapi apabila nilainya sama tetapi arahnya berlawanan maka kedua vektor itu berlawanan.

Contoh :

                       

A                 Maka vektor A berlawanan dengan vektor

B                           atau  A  = - B  (tanda (-) menunjukkan arah vektor bukan nilai).

3.    Operasi Vektor

a.    Melukiskan Penjumlahan dan Pengurangan vektor.

Penjumlahan vektor tidak sama seperti penjumlahan bilangan biasa atau penjumlahan besaran  skalar karena arah vektor mempunyai pengaruh dalam penjumlahan vektor. Nilai hasil penjumlahan vektor disebut resultan vektor. Ada beberapa metode penjumlahan vektor tergantung pada arah dan kedudukan vektor. Secara grafis penjumlahandua buah vektor dapat digambarkan sebagai berikut :

 

 

1). Lukislah vektor pertama  sesuai niali dan arahnya.

2). Letakkan titik tangkap vektor kedua doujung vektor pertama sesuai dengan nilai dan arahnya.

 

Contoh :

1)    Penjumlah dua atau tiga buah vektor yang terletak segaris.

Jika diketahuai vektor A, B da C sebagai berikut :

                   A                                B                                    C

 

a). A  +  B                  A                    B

                                      A + B

b). A  +  C                               C          A

                                  A+C

c).  A – B                -B            A

      A – B

 

2)    Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dalam satu bidang datar

Hasil penjumlahan dan pengurangan vektor disebut resultan vektor.  Semisal kita memiliki vektor sebagai berikut :

 

                  

                                           F₃                  

                                                        

     F₁

F₂

 

Untuk melukiskan penjumlahan  sejumlah vektor diatas dapat digunakan dua metode yaitu metode poligon dan metode jajaran genjang.

a). Metode Poligon

Secara grafis penjumlahan dan pengurangan dengan metode poligon adalah sebagi berikut :

Contoh  

a.  F₁ + F₂                                                c. F₁ +  F₂ +  F₃

                        F₂                                                         F₂

 

F₁                                                              F₁

                 F₁+F₂                                                                          F₃

 

b.. F₁  - F₂ =…                                 F₁ +  F₂ +  F₃

                 -F₂

 

F₁- F₂                    F₁

 

 

b). Metode jajaran genjang

Cara melukiskan resultan vektor dengan metode jajaran genjang adalah sebagai berikut :

-        Letakkan titik tangkap vektor 1 dan 2 pada satu titik sesuai nilai dan arah masing –masing vektor.

-        Tariklah garis dari ujung vektor satu sejajar dengan vektor yang lain dan sebaliknya.

-        Tariklah garis dari titik pangkal kedua vektor sampai ke titik potong garis sejajar vektor tersebut.

Contoh :

 

1). F₁ + F₂

 F₁

                                          F₁+F₂

 

                                           F₂

2).  F₁ -  F₂

F₁

                           F₁ – F₂

          -F₂

 

 

 

 

 

3). F₁ + F₂ + F₃          F₁

 

                                       F₁+F₂

                                                       

F₂

                              

       (F₁+F₂)+F₃

 

 

               F₃

b.    Menentukan Nilai dan arah Resultan Vektor

1)    Penjumlahan dan pengurangan dua buah vektor yang membentuk sudut tertentu

Dua vektor F₁ dan F₂ yang saling mengapit sudut a seperti pada gambar maka besar resultan kedua vektor tersebuta adalah :

  F₁                              

                                

R

                     a           (180-a)

                            b           F₂

F₁ +  F₂ = R

Secara metematis nilai Resultan ( R ) diselesaikan dengan rumus aturan cosinus sebagai berikut :

 

2)    Arah Vektor Resultan

                               C     

                          F₁          R                

                                 (180-a)

             A   a        b           B       

               F₂

 

Perhatikanlah segitigaa ABC diatas, dengan menggunakan rumus aturan sinus maka diperoleh rumusan sebagai berikut :

                   dimana adalah sudut yang menunjukkan arah Vektor Resultan

contoh :

dua buah gaya F₁ dan F₂ masing – masing besarnya 50 N dan 30 N saling mengapit sudut 60⁰. tentukan arah dan resultan kedua vektor tersebut ?

diketahui :

          F₁ = 50 N

          F₂ =  30  N

          a  = 60⁰

Ditanya : R   dan b  ……?

Jawab :

arah vektor resultan adalah

jadi resultanyaa 70 N ke arah 38,2⁰ terhadap F₂.

 

c.    Menguraikan vektor dan perpaduan vektor

a.    Menguraikan Vektor

Jika dua buah vektor atau lebih dapat diresultan menjadi satu buah vektor resultan maka berlaku juga sebaliknya. Sebauh  vektor dapat diuraikankembali menjadi  dua buah vektor yang   disebut vektor komponen. Vektor  dapat diproueksikan pada sumbu koordinat X, Y atau kartesian. Uraian vektor pada sumbu Y di sebut komponen Vektor sumbu Y demikian halnya dengan sumbu X,  vektor komponennya disebut komponen vektor sumbu X.

Perhatikanlah cara menguraikan sebauh vektor atau lebih pada sumbu X dan sumbu Y berikut :

              Y

 

         

F_y                F        

 

                    a                              

                          F_x                   X

    F_x  = komponen vektor F pada sumbu X

    F_y  = komponen vektor F pada sumbuY

a        = suduat antara F dan  F_x

maka dapat diruliskan besar komponen vektornya adalah:

F_x =  F. cos a

F_y =  F. sin a

  

b.    Perpaduan  dua buah vektor atau lebih dengan analitis vektor.

Sejumlah vektor yang terletak membentuk sudut tertentu terhadap bidang horinsontal (sumbu X) atau vertical (sumbu Y) akan lebih mudah jika seluruh vektor omponen dijumlahkan pada sumbu masing masing dibanding dengan mengunakan cara grafis. Metode ini dikenal dengan cara analitis. Untuk lebih jelasnya perhatikan langkah – langkah berikut :

1). Lukislah uraian vektor komponen X dan Y dari masing-masing vektor.

                                  y

 

               F₂            F_2y

                                      F_1y      F₁

 

                          a           b       

               F_2x                          F_1x      x

 

                               F₃

2). Carilah nilai vektor komponen X dan Y lalu masukan ke tabel beriut :

Vektor	Vektor Komponen Sumbu X	Vektor Komponen Sumbu Y
F1 F2 F3	F1x=  F1cos b  =…. F2x= -F2cos a  = … F3x= -F3cos 90 =….	F1y=  F1sin b   =…. F2y=  F2sin a  = … F3x= -F3sin 90 =….
S	SFx=…………….	SFy=…………….

 

 Tanda (-) menunjukkan sumbu X atau Y (-)

3). Hitunglah resultan dengan rumus berikut :

                             

         

untuk menentukan arah vektor resultan digunakan nilai tangen vektor komponen X dan Y :

a = sudut vektor resultan terhadap sumbu X

 

Penugasan !

Tiga buah vektor F₁, F₂ dan F₃ masing – masing besarnya adalah  10 N, 20 N  dan 5 N terletak seperti pada gambar 1.17. Tentukan resultan dan arah ketiga vektor tersebut.

 

                                  y

                        

                         F₂ = 30 N 

                                                       F₁ = 20 N

 

                        53⁰         37⁰     

                                                      x

 

                               F₃ = 10 N

 

 

 

 

 

jawab

          F₂           F_2y= F₂ sin 53⁰

                                           F_1y = F₁sin 37

                                                F₁

                          53⁰       37⁰     

                  F_2x=F₂cos53⁰        F_1x=F₁cos37⁰      x

                                  F₃

 

 

Vektor komponen Gaya pada sumbu X dan Y adalah :

 

Vektor	Vektor Komponen Sumbu X	Vektor Komponen Sumbu Y
F1 F2 F3	20 cos 37  = 20.0.8 = 16 N - 30cos53 = 30.0,6 = -18N  -8 cos 90 = 0	10 sin 37 = 10. 0,6 = 12 N 30 sin 53 = 30.0,8  = 24 N -10 sin 90 = -10.1  = -10 N
S	SFx= - 2 N	SFy=  2 N

 

 

 

jadi resultan Vektornya adalah :

sedangkan arah vektor komponennya adalah:

        a =  135⁰ terhadap sumbu X (+) atau 45⁰ terhadap sumbu X  (-).

 

 

 

 

 

Soal latihan

 

1). Sebuah gaya sebesar 20 N membentuk sudut 60^o terhadap sumbu x positif. Tentukan vektor komponen sumbu x dan y.

2). Dua vektor kecepatan v₁ dan v₂ masing masing besarnya 20 ms^-1 dan 30 ms^-1 memiliki arah seperti pada gambar dibawah. Tentulah resultan vektor komponen pada sumb x dan y

 

 y

 

v₁                              v₂

30^o        30^o            x

 

3). tiga buah gaya F₁, F₂, dan F₃ masing – masing besarnya 20 N, 20 N dan 40 N membntuk sudut masing-masing 45^o, 135^o dan 270^o terhadap sumbu x positif. Tentukan

a.      vektor Komponen masing –masing sumbu

b.      arah dan resultan ketiga vektor tersebut